Le Capital Asset Pricing Model

L’objectif du CAPM est de combiner un investissement sur un actif sans risque et sur un portefeuille diversifié situé idéalement sur la frontière efficiente. Ainsi, la relation qui lie le rendement et le risque ne se présente plus sous une forme de courbe concave, mais en une simple droite (appelée droite de marché) qui relie l’actif sans risque et le portefeuille de marché.

Les hypothèses du modèle

Ce modèle s’appuie sur 10 hypothèses :

– les investisseurs supposés rationnels et averses au risque, se comportent selon la manière préconisée par Markowitz.

– le CAPM reprend les conclusions de Markowitz, en terme de portefeuille efficient et de frontière efficiente qui est la même pour tous les investisseurs.

– il existe un portefeuille qui regroupe l’ensemble des titres (actions) négociés sur le marché. Ce portefeuille de marché est situé sur la frontière efficiente. Dans la pratique, ce portefeuille est représenté par un indice.

– avec l’introduction par Sharpe de l’actif sans risque (bon du Trésor), les investisseurs en fonction de leur aversion au risque, vont répartir la composition de leurs portefeuilles dans des combinaisons de l’actif sans risque et du portefeuille de marché.

– les actifs financiers sont infiniment divisibles : l’investisseur peut acheter une fraction d’un titre donné s’il le désire.

– tous les investisseurs ont le même horizon de placement.

– l’information est instantanément et gratuitement disponible pour tous les investisseurs.

– les investisseurs ont des anticipations homogènes sur les rendements anticipés, l’écart type de ces rendements et les corrélations entre les rendements.

– les investisseurs peuvent emprunter et prêter sans limite au taux sans risque.

– le marché est supposé parfait : il n’y a pas d’impôt ni de coût de transaction.

Le but de ces hypothèses est de permettre à la théorie du portefeuille de passer du comportement de l’investisseur face au risque (Markowitz) à l’évaluation des prix des actifs.

Comment se fixent les prix d’équilibre des actifs financiers ? Telle est la question à laquelle le CAPM a tenté de répondre.

L’équation du CAPM

Le problème qui doit être résolu est le suivant :

Peut-on combiner un investissement (portefeuille noté p) entre un actif sans risque et un actif risqué (situé sur la frontière efficiente) qui reste lui-même efficient (pour un niveau de risque donné, celui qui maximise le rendement).

Soit m le portefeuille de marché.

Investissons (x) dans cet actif et (1–x) dans l’actif sans risque noté Rf

Nous obtenons le système suivant :

E(Rp) = (1-x) E(Rf) + x E(Rm)                                                                        (1)

V(Rp) = (1-x)² V(Rf) + x² V(Rm) + 2x(1-x) Cov(Rf ; Rm)               (2)

Or Cov(Rf ; Rm) = V(Rf) = 0

D’ou x² = V(Rp) / V(Rm)  <-->  x = σp / σm                        (3)

De (1) on obtient :

E(Rp) = E(Rf) + x (E(Rm) – E(Rf))     avec E(Rf) = Rf car actif sans risque

Remplaçons x par son expression (3) :

E(Rp) = Rf + (σp / σm)  (E(Rm) – Rf)                                                         (4)

Avec :

Rf, le taux sans risque

ERm, le rendement espéré du portefeuille de marché

σm, le risque du portefeuille de marché

Nous avons démontré qu’il existe une relation linéaire entre la rentabilité du portefeuille et son risque total. Ainsi, toute combinaison d’un portefeuille entre 1 actif sans risque et 1 actif risqué (m), sera représentée par une droite dans l’espace rentabilité risque.

L’équation (4) nous dit que le rendement espéré d’un portefeuille est égal au taux sans risque augmenté d’une prime de risque égale à la quantité de risque σ, multipliée par le prix du risque qui n’est autre que la pente de la droite de marché, [ERm – Rf] / σm.

Le portefeuille p étant considéré comme efficient, il vérifie la relation :

σp² = βp²σm² + σεp² = βp²σm² + 0 (car p est totalement corrélé au portefeuille efficient)

<--> (risque total)² = (risque de marché)² + (risque spécifique)² = (risque de marché)² + 0

On peut donc écrire que :

E(Rp) = Rf + βp (E(Rm) – Rf)

Tous les portefeuilles situés sur la droite Rm ; Rf sont parfaitement diversifiés, et pour cela, le risque total se réduit au risque systématique (risque de marché).

On notera désormais cette relation d’équilibre :

E(Ri) – Rf = βi (E(Rm) – Rf)               βi = σim / σm²

Avec :

E(Ri) : espérance de rentabilité du titre i

Rf : rentabilité du taux sans risque

E(Rm) : espérance de rentabilité du marché

βi : Cov(Ri; Rm) / Var(Rm)

Cette dernière équation nous dit que le rendement d’un titre i, noté E(Ri), est égal au taux sans risque, Rf, augmenté d’une prime de risque. Cette prime est le produit de la quantité du risque systématique, βi, et du prix du risque dû au marché (E(Rm) – Rf).

Ainsi, le CAPM stipule que seul le risque non diversifiable (ou risque de marché ou risque systématique) de l’action est rémunéré. Toute autre composante du risque total n’est pas prise en compte dans le calcul du rendement.

Composition du portefeuille de marché m

On peut s’interroger quant à la constitution du portefeuille m. Considéré comme un portefeuille efficient, il est composé de l’ensemble des valeurs cotées. Pourtant l’approche théorique ne donne aucune indication concernant sa construction (pondération des actifs qui le compose).

Par défaut, les professionnels utiliseront les indices connus pour leurs travaux ou la gestion indicielle.

Nous pouvons constater alors que si une SICAV ou FCP arrive à battre son indice (avec un niveau de volatilité comparable), la seule et unique raison est que celui-ci n’était pas efficient.

Critique du modèle

Le CAPM est un modèle difficile à tester car il repose sur des variables qui ne sont pas directement observables.

De plus Roll en 1977, montre que la relation d’équilibre n’est pas vérifiée en prenant un portefeuille dont la composition est légèrement différente du vrai portefeuille de marché, avec cependant une très forte corrélation (0,9).

Le CAPM international

La généralisation de la version domestique du CAPM à l’échelle internationale paraît naturelle : seuls les risques non diversifiables liés au marché mondial sont rémunérés.

L’investisseur français structure son portefeuille en choisissant, en fonction du niveau de risque qu’il se fixe, des combinaisons de bons du Trésor français (actif sans risque) et du portefeuille de marché mondial couvert contre le risque de change. Trois problèmes vont apparaître :

–       comment estimer et construire le portefeuille mondial ?

–       dans la mesure où un titre est plus sensible à l’influence du marché domestique qu’à celle des marchés étrangers, comment estimer le bêta international, qui est censé mesurer le risque systématique du titre lié au marché mondial ?

–       faut-il ou non se couvrir contre le risque de change ?

L’extension du CAPM à l’échelle mondiale permet de mesurer le rendement anticipé d’une action ou d’un portefeuille, E(Rp), en fonction de son bêta mondial, βpw, selon l’équation suivante :

E(Rp) = Rf + βpw (E(Rw) – Rf)

Avec :

Rf, le taux sans risque du pays de l’investisseur

E(Rw), le rendement anticipé du marché mondial protégé contre le risque de change

βpw, le bêta mondial du portefeuille égal à : βpw = Cov(Rp; Rw) / σw²

où σw² est la variance du portefeuille mondial.

Cette version fait l’objet des critiques suivantes :

–       dans la pratique, il est difficile, voir impossible, de constituer le portefeuille de marché mondial,

–       le rendement d’une action n’est pas identique pour chaque investisseur national (français, canadien, australien…). Plusieurs imperfections mènent à des déviations par rapport à la parité du pouvoir d’achat et au taux de change réel. En conséquence, la distribution des rendements des actifs financiers dépend du pays de l’investisseur, ce qui est contraire à l’hypothèse de l’homogénéité des anticipations des investisseurs, supposée par le CAPM.

 

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