Démonstration de la réduction de risque par la diversification

L’inclusion de plusieurs titres dans un portefeuille réduit le risque de celui-ci par rapport au risque des titres individuels qui le composent.

Illustration du phénomène

La rentabilité du portefeuille est simplement la moyenne des rentabilités de chacun des titres qui le composent pondérée par leur proportion respective dans le portefeuille. Soit pour 2 titres A et B :

Rp = XA RA + XB RB

Le risque du portefeuille n’est pas égal à la moyenne pondérée des risques des titres qui le composent.

En effet, le risque d’un portefeuille dépend non seulement du risque des titres qui le composent, pris isolément, mais aussi de la mesure avec laquelle leurs rentabilités sont affectées de manière similaire par les évènements qui les font varier. On emploie pour mesurer ce paramètre la covariance et le coefficient de corrélation.

La covariance des taux de rentabilité de 2 titres est la moyenne des produits des écarts des taux de rentabilité des 2 titres par rapport à leur moyenne respective.

Une mesure liée à la covariance est le coefficient de corrélation. Le coefficient de corrélation des taux de rentabilité de 2 titres est égal au rapport de leur covariance au produit de leurs écarts types.

σAB = ρAB σA σB

σAB : covariance des taux de rentabilité des titres A et B

ρAB : coefficient de corrélation entre les taux de rentabilité des titres A et B

σA : écart type des taux de rentabilité du titre A

σB : écart type des taux de rentabilité du titre B

Le risque (la variance) du portefeuille est :

σp² = XA² σA² + XB² σB² + 2 XA XB σAB

Ou

σp² = XA² σA² + XB² σB² + 2 XA XB ρAB σA σB

Plus la corrélation entre les titres (les marchés) est faible, plus la diversification nationale (internationale) est rentable en terme de réduction du risque total. De ce fait, le risque d’un portefeuille peut être faible en dépit des risques élevés des titres qui le composent.

Le cas où la diversification ne sert à rien : les taux de rentabilité sont corrélés de manière parfaitement positive

Si ρAB = +1 : le risque (la variance) du portefeuille devient :

σp² = XA² σA² + XB² σB² + 2 XA XB σA σB

Pour mémoire (a+b)² = a² + b² + 2 ab

σp² = (XA σA + XB σB)²

Ainsi, lorsque les taux de rentabilité de 2 titres sont parfaitement corrélés, le risque de leur combinaison en un portefeuille mesuré par l’écart type des taux de rentabilité du portefeuille est simplement la moyenne pondérée des risques des titres individuels qui le composent.

Le cas où la diversification peut supprimer totalement le risque : les taux de rentabilité sont corrélés de manière parfaitement négative

Si ρAB = -1 : le risque (la variance) du portefeuille devient :

σp² = XA² σA² + XB² σB² – 2 XA XB σA σB

Pour mémoire (a-b)² = a² + b² – 2 ab

σp² = (XA σA – XB σB)²

Ainsi, lorsque 2 titres ont des taux de rentabilité corrélés de manière parfaitement négative, il est possible de les combiner dans un portefeuille de façon à éliminer tout risque.

Le cas où les taux de rentabilité ont une corrélation nulle

Si ρAB = 0 : le risque (la variance) du portefeuille devient :

σp² = XA² σA² + XB² σB²

Dans ce cas, le risque du portefeuille est inférieur à celui des titres qui le composent.

Exemple : XA = XB = 0,5 et σA = σB = 0,25 (25 %)

(50 % de titre A et 50 % de titre B ; volatilité de 25 % pour A et B)

σp² = (0,5)² (0,25)² + (0,5)² (0,25)² = 0,0313

σp = 0,1768 soit 17,68 %

Le cas général où la corrélation entre les taux de rentabilité est comprise entre 0 et 1

Le risque (la variance) du portefeuille devient :

σp² = XA² σA² + XB² σB² + 2 XA XB ρAB σA σB

Exemple : XA = XB = 0,5 et σA = σB = 0,25 (25 %) et ρAB = 0,6

σp² = (0,5)² (0,25)² + (0,5)² (0,25)² + 2 (0,6) (0,5)² (0,25)²

σp² = 0,05

σp = 0,2236 soit 22,36 %, qui est inférieur à 25 %, le risque de l’investissement exclusivement dans A ou dans B.